自組織、非線性與復雜性研究
生命系統與熵定律
熱力學有兩個定律，第一定律也稱為能量守恒定律，指出宇宙的能量總和是一個常數，既不可能增加，也不可能減少為什么惠普云打印很慢。熱力學第二定律就是著名的熵定律，它指在一個封閉的系統里，能量總是從高的地方流向低的地方，系統從有序漸漸變成無序，系統的熵最終將達到最大值。這是一個不可逆的過程。
生命系統就是根本不服從熵定律的一個龐大的世界為什么惠普云打印很慢。大約40億年前，地球剛剛形成不久，炙熱的巖漿分解出還原成分的氣體，形成大氣層。而正是當時剛起源的原始生命通過生物地球化學作用使得大氣漸漸變成氧化型大氣。氧氣成分增加了，生命更加蓬勃地發展起來，一直進化到今天。從某種意義上說，是生命造就了今天的行星地球，而作為地球生命的最高級形式――人類，將運用那前所未有的主動精神繼續改造和影響外部世界。
那么生命系統真的不服從熵定律嗎？讓我們先看看一個人的生命周期過程：受精卵在母體內開始進行細胞分裂和復制，逐漸形成胚胎的各種器官，成熟后便誕生出世為什么惠普云打印很慢。隨著嬰兒的成長，各種器官與器官功能日趨完善，越來越有序化。誰也不會否認，當孩子漸漸長大，他體內儲存的能量也就與日俱增了。不僅一個人是如此，每當我們觀察任何一種生命個體時，都會發現這個“能量從低向高流動”的熵定律的逆過程。
不但每個生命個體是如此，整體生物進化過程本身就代表著日益增長的秩序的不斷積累為什么惠普云打印很慢。就連某種生物群體內部也一樣，例如主人群組成的人類社會。人類社會本身也是一個封閉系統，無疑是附合熵定律條件的。
線性科學向非線性科學的轉變
線性是指量與量之間的正比關系；在直角坐標系里，這是用一根直線表征的關系為什么惠普云打印很慢。近代自然科學正是從研究線性系統這種簡單對象開始的。由于人的認識的發展總是從簡單事物開始的，所以在科學發展的早期，首先從線性關系來認識自然事物，較多地研究了事物間的線性相互作用，這是很自然的。因而在經典物理學中，首先考察的是沒有摩擦的理想擺，沒有粘滯性的理想流體，溫度梯度很小的熱流等；數學家們首先研究的是線性函數、線性方程等。理論家們在對大自然中的許多現象進行探索時，總是力求在忽略非線性因素的前提下建立起線性模型，至少是力求對非線性模型做線性化處理，用線性模型近似或局部地代替非線性原型，或者借助于對線性過程的微小擾動來討論非線性效應。經過長期的發展，在經典科學中就鑄造出一套處理線性問題的行之有效的方法，例如傅立葉變換、拉普拉斯變換、傳遞函數、回歸技術等；就是設計物理實驗，也主要是做那些可以做線性分析的實驗。從這個特點看來，經典科學實質上是線性科學。線性科學在理論研究和實際應用上都有十分光輝的進展，在自然科學和工程技術領域，對線性系統的研究都取得了很大的成績。
線性科學的長期發展，也形成了一種扭曲的認識或“科學思想”，認為線性系統才是客觀世界中的常規現象和本質特征，才有普遍規律，才能建立一般原理和普適方法；而非線性系統只是例外的病態現象和非本質特征，沒有普遍的規律，只能作為對線性系統的擾動或采取特殊的方法做個別處理為什么惠普云打印很慢。由此得出結論說，線性系統才是科學探索的基本對象，線性問題才存在理論體系；所以經典科學的長期發展，都是封閉在線性現象的圈子里進行的。線性與非線性物理現象有著質的差異和不同的特征。從結構上看，線性系統的基本特征是可疊加性或可還原性，部分之和等于整體，幾個因素對系統聯合作用的總效應，等于各個因素單獨作用效應的加和；因而描述線性系統的方程遵從疊加原理，即方程的不同解加起來仍然是方程的解；分割、求和、取極限等數學操作，都是處理線性問題的有效方法；非線性則指整體不等于部分之和，疊加原理失效。從運動形式上看，線性現象一般表現為時空中的平滑運動，可以用性能良好的函數表示，是連續的，可微的。而非線性現象則表現為從規則運動向不規則運動的轉化和躍變，帶有明顯的間斷性、突變性。從系統對擾動和參量變化的響應來看，線性系統的響應是平緩光滑的，成比例變化；而非線性系統在一些關節點上，參量的微小變化往往導致運動形式質的變化，出現與外界激勵有本質區別的行為，發生空間規整性有序結構的形成和維持。正是非線性作用，才形成了物質世界的無限多樣性、豐富性、曲折性、奇異性、復雜性、多變性和演化性。
在科學還處在主要以簡單關系為研究對象的階段，線性方法曾經是十分有效的為什么惠普云打印很慢。線性關系容易思考，容易解決，可以把它一塊塊地分割開進行考察，然后再一塊塊地拼合起來。所以線性關系讓人喜愛。而非線性問題、非線性方程往往是桀驁不馴、個性很強的，很難找到普遍的解決方法，只能對具體問題做具體分析，針對個別問題的特點采取特殊的處理方法。所以歷史上雖然有過一些解非線性方程的巧妙方法，但與大量存在的非線性問題相比，只算是鳳毛麟角；甚至人們一遇到非線性系統或發現方程中的非線性項時，就想盡辦法回避，或加以舍棄，使之“線性化”。
流體動力學中描述粘性不可壓縮流體動量守恒的運動方程、即著名的“納維-斯托克斯方程”，把流體的速度、壓力、密度和粘滯性全部聯系起來，概括了流體運動的全部規律；只是由于它比歐拉方程多了一個二階導數項，因而是非線性的，除了在一些特殊條件下的情況外，很難求出方程的精確解為什么惠普云打印很慢。分析這個方程的性態，“仿佛是在迷宮里行走，而迷宮墻的隔板隨你每走一步而更換位置”。計算機之父馮#8226;諾意曼（Neumann，Joha von 1903～1957）說：“這些方程的特性……在所有有關的方面同時變化，既改變它的次，又改變它的階。因此數學上的艱辛可想而知了。”
所以，非線性系統長期以來被冷落在科研領域的視野以外為什么惠普云打印很慢。當遇到非線性系統時，科學家們就代之以線性近似。甚至在教科書中，也充滿了線性分析成功的內容，“非線性”一詞大都只在書末一帶而過地提一下。除了幾個可解的非線性范例之外，那里講的不過是如何把一些非線性方程約化成線性方程。這種訓練的結果，把人們的思想禁錮在線性的陷阱里，致使到了20世紀40年代和50年代，許多科學家和工程師除此之外竟一無所知。一位著名的工程師甚至說過：“上帝不會不仁得使自然界的方程成為非線性的”。伊恩#8226;斯圖爾特感嘆地說：“如果你斷定，只有線性方程才值得研究，那無異于自我禁錮。你的課本充滿了線性分析的成功，它的失敗埋藏得如此之深，以致連墳墓都看不見，墳墓的存在也沒人注意。如同18世紀篤信鐘表世界一樣，20世紀中葉則恪守線性世界。”①伊恩#8226;斯恩爾特非常詼諧地揶揄說：“稱一般微分方程為‘非線性’方程，好比把動物學叫做‘非象類動物學’。但是你明白，我們生活在這樣一個世界里，多少世紀以來它以為現存的唯一動物就是大象，它設想壁腳板上的洞是幼象鑿的，它把翱翔的雄鷹當作耳朵變翼的呆寶②，把猛虎當做身披花紋的短鼻子大象。它的分類學家們則施行矯正手術，使得博物館的動物標本清一色地由笨重的灰色象類動物組成。‘非線性’就是如此。”到20世紀60年代以后，情況才有了改變。由于電子計算機的廣泛應用和由此發展起來的“計算物理”和“實驗數學”的方法的利用，人們從研究可積系統的無窮多自由度的非線性偏微分方程中，在淺水波方程中發現了“孤子”，并得出了一套一些類型非線性方程的解法；從一些看起來不甚復雜的不可積系統的研究中，發現了確定性動力系統中存在著對初值極為敏感的混沌運動。人們越來越明白地認識到，“大自然無情地是非線性的。”在現實世界中，能解的、有序的線性系統才是少見的例外，非線性才是大自然的普遍特性；線性系統其實只是對少數簡單非線性系統的一種理論近似，非線性才是世界的魂魄。恩里科#8226;費米（Fermi，Enrico 1901～1954）說：“圣經中并沒有說過一切大自然的定律都可以用線性方式來表示”。而且正是非線性才造成了現實世界的無限多樣性、曲折性、突變性和演化性。這樣，就逐漸形成了貫穿物理學、數學、天文學、生物學、生命科學、空間科學、氣象科學、環境科學等廣泛領域，揭示非線性系統的共性，探討復雜性現象的新的科學領域“非線性科學”。生態學和混沌學家羅伯特#8226;梅（Robert，May）認為，目前全世界標準的科學教育，向人們灌輸的是關于世界圖景的偏見和歪曲的印象。不管線性的數學獲得了多大的成功，都只能給學生一個關于實際大自然的普遍存在的非線性事實的失真形象。“如果像這樣發展起來的數學直覺，會使學生即使看到離散非線性系統里最簡單的古怪行為也會手足失措”。所以他向一切有文化的人呼吁，不僅在研究工作中，而且在日常生活中，包括政治、經濟生活中，“如果更多的人了解到這最簡單的非線性系統也未必有簡單的動力性質，會大有裨益。”如果能早日向中學生們講一些非線性知識，那將使一切變得更好。
復雜世界中的規整性的發現
1．孤波和孤子的發現
水面受到激擾后會出現四散的水波，但波紋很快就會消失，不可能傳到很遠的地方為什么惠普云打印很慢。但在1834年8月，英國科學家、造船工程師約翰#8226;羅素（Russell，John Scott 1808～1882）卻觀察到一個奇怪的現象。他在勘察愛丁堡到格拉斯哥的運河河道時，看到一只運行的木船搖蕩的船頭擠出高約0.3米到0.5米、長約10米的一堆水來；當船突然停下時，這堆水竟保持著它的形狀，以每小時大約13千米的速度往前傳播。10年后，在英國科學促進協會第14屆會議上，他發表了一篇題為《論水波》①的論文，生動地描述了這個現象：
1834年秋，我看到兩匹駿馬正沿運河拉著一只船迅速前進為什么惠普云打印很慢。突然，船停了下來，然而被船所推動的一大團水卻不停止。它們堆積在船頭周圍激烈地擾動著，隨后形成一個滾圓、光滑又輪廓分明的大水包，其高度約有1～1.5英尺，長約30英尺，以每小時大約8～9英里的速度，沿著水面向前滾動。我騎在馬上一直跟隨著它，發現它的大小、形狀和速度變化很緩慢，直到1～2英里后，它才在蜿蜒的河道上消失。
羅素認識到，這決不是普通的水波為什么惠普云打印很慢。因為普通的水波是由水面的振動形成的，水波的一半高于水面，一半低于水面，而且在擴展一小段距離后即行消失；而他所看到的這個水團，卻具有光滑規整的形狀，完全在水面上移動，衰減得也很緩慢。他把這團奇特的運動著的水堆稱為“孤立波”或“孤波”。羅素還仿照運河的狀況建造了一個狹長的大水槽，模擬當時的條件給水以適當的推動，果然從實驗上再現了在運河上觀察到的孤波。他認為這應當是流體力學方程的一個解。他批評數學家們未能從流體力學基本規律預言孤波的存在。他的這些觀點在科學促進協會會議上報告后，未能說服他的同事們，爭論一直持續了幾十年。1895年，兩位年輕的荷蘭數學家科特維格（Korteweg，D.J.）和德弗里斯（devries，G.）在研究淺水中小振幅長波運動時，考慮到可把水簡化為彈性體，具有彈性特征之外，還注意到水具有非線性特征與色散作用，這些次要特性在一定條件下會形成相干結構。他們由此導出了單向運動淺水波Kdv方程②，由方程得出的波的表面形狀與孤波的表面形狀十分相似，從而給出了一個類似于羅素孤波的解析解，孤波的存在才得到了公認。此后這件事又被漸漸淡忘了。
20世紀60年代，電子計算機被廣泛應用之后，孤波才被重新記起并被命名為“孤立子”或“孤子”為什么惠普云打印很慢。電子計算機的應用，使得科學家們敢于去探索過去用解析方法難以處理的復雜問題。首先進行這方面探索的是物理學家費米和他的兩個同事。他們于1952年開始利用當時美國用于設計氫彈的Maniac計算機，對由64個諧振子組成、振子間存在微弱非線性相互作用的系統進行計算，試圖證明統計物理學中的“能量均分定理”。但1955年完成的研究結果表明，開始時集中在某一振子上的能量，隨著時間的進展并不均勻地分配到其它振子上，而是每經過一段“復歸時間”后，能量又回到原來的振子上，這就是奇異的“復歸”現象。這個現象引起了一批科學家的興趣。
當時由于空間物理學和受控熱核技術研究的發展，促使了人們對等離子體物理特性的研究為什么惠普云打印很慢。這涉及到等離子體中波的問題，推進了求解非線性方程孤波解的研究。丕林、斯克姆等人經過一系列近似處理，發現費米等人的諧振子系統可以看做是Kdv方程的極限情況，可以用這個方程的孤波解來解釋初始能量的“復歸”現象。1965年，美國科學家扎布斯基（Zabusky，N.）和克魯斯卡爾（Kruskal，M.D.）等在電子計算機做數值試驗后意外地發現，以不同速度運動的兩個孤波在相互碰撞后，仍然保持各自原有的能量、動量的集中形態，其波形和速度具有極大的穩定性，就像彈性粒子的碰撞過程一樣，所以完全可以把孤波當作剛性粒子看待。于是他們將這種具有粒子性的孤波，即非線性方程的孤波解稱為“孤子”①。1965年以后，人們進一步發現，除水波外，其它一些物質中也會出現孤波。在固體物理、等離子體物理、光學實驗中，都發現了孤子。并且發現，除Kdv方程外，其它一些非線性方程，如正弦-戈登方程、非線性薛定諤方程等，也有孤子解。1967年，美國的一個研究小組GGKM在解Kdv方程時，首次發明了著名的解析方法——“逆散射變換”，并得出了Kdv方程N個孤波相互作用的精確解①。這個方法經拉克斯（Lax，P.D.）②和AKNS等人推廣到一大批非線性演化方程中去，完善為一個較普遍的解析方法，大大推進了孤子的研究。上述這些研究成果，已經開始推向實際應用。例如在光纖通訊中，由于色散變形，傳輸信息的低強度光脈沖，不僅傳輸的信息量小，質量差，而且每經一段傳輸距離后，都要做波形整復。70年代從理論上發現的“光學孤子”，由于在傳輸中具有波形不損失，不改變速度等特性，為消除前述缺點找到了有效的方法。物理學中的一些基本方程，如規范場論中的自對偶楊-米爾斯方程，引力場理論中的軸對稱穩態愛因斯坦方程，以及一系列在流體力學、非線性光學、等離子物體中有重要應用的方程，都已應用孤子理論中的方法得到了許多有趣的精確解。另外，由于孤子同時具有波和粒子兩重性質，引起了理論物理學家們的極大關注。他們嘗試用它來描述基本粒子。但在應用中，上述的孤子定義有所擴展。但到目前為止，還有很多理論上的困難未能解決。
2．復雜系統相干結構的研究
自然界存在著大量復雜系統為什么惠普云打印很慢。如由大量原子結合成的固體，奔騰的河流，湍動的大氣，大小不一的渦旋等。這些系統除了具有變化不定的運動形態外，還具有空間上局域、時間上長壽的規整結構。這就是由于系統中存在的色散與非線性兩種作用相互平衡而形成的“相干結構”。孤子就是一種特殊的一維相干結構。相干結構存在于用連續介質或流體力學方程描述的具有無窮多自由度的復雜系統中。相干結構的穩定性與非線性系統具有無窮多守恒律密切相關。很多具有孤子解的非線性演化方程，就有無窮多個守恒律，因而也有無窮多個守恒的物理量。對相干結構的形成機制和相互作用的探索，是非線性科學研究的前沿。
除孤子之外，各種尺度的渦旋是自然界一大類相干結構為什么惠普云打印很慢。大者如直徑達四萬千米的木星大紅斑，小者如晶體中只有幾納米大小的電荷密度波，都是渦旋現象。通過計算機模擬和實驗室實驗，對木星大紅斑的形成機理的研究，已取得了重大進展。天文學上觀察到木星的大紅斑，是在伽利略用他的望遠鏡觀察木星之后不久的事情。羅伯特#8226;胡克（Hooke，Robert1635～1703）也觀察過它。這個大紅斑還被畫在梵蒂岡的畫廊里。它是一個巨大的、渦旋狀的卵圓形，就像一個不運動、不消退的巨形風暴一直處在木星上。長期以來，它引起了人們的各種猜測。19世紀末期，天文學家們認為木星紅斑是由火山熔巖形成的一個卵圓形的熔巖湖；也許是一顆小星體撞擊木星簿殼造成的一個大洞。一位德國科學家認為紅斑是木星表面正在分化出的一個衛星的雛型。后來人們發現，紅斑在木星表面上有些浮動，所以在1959年有人提出，紅斑是一個漂浮在木星外大氣中的一個實體，就如一枚蛋浮在水中一樣。有人認為這可能是一個很大的氫或氦的氣泡。但是，由于紅斑的漂移距離很小，所以60年代科學家們又提出它是巨大火山口上形成的氣柱的頂端。1978年，宇宙飛船旅行者二號在太空中拍到的照片顯示，木星并不是一個固態的星球，而是一個運動的流體，表面是沸騰的湍流，有東西向的水平帶。木星大紅斑是一個巨大旋流中的颶風系統，旋動在流體木星的上空。它把木星上空的云層推向外邊，嵌入在東西風帶之內，形成了這行星上一條水平的帶狀構造。照片顯示，紅斑中存在著大量小尺度的、非組織性的迅速流動，在一天或不到一天的時間內，渦流出現又消失，但大紅斑依然存在，而且長期不變。這真是一個宇宙奇跡。80年代初期，美國年青的天文學家、數學家菲利浦#8226;馬爾卡斯（Marcus，Philip），根據致密的氫或氦的運動規律，建立了一組模擬木星氣候的流體力學方程組，并編制了計算機程序，試圖揭示大紅斑的秘密。木星的自轉很快，大約每10小時自轉一周。這種自旋使其上的一切物體都受到科里奧利力的作用，這個力正比于運動物體的速率，垂直于物體運動的方向，正是這個力驅動了紅斑。馬爾卡斯用藍色表示順時針方向流體的轉動，用紅色表示逆時針方向流體的轉動，中間夾雜有黃色，用計算機繪制美麗的色彩圖象。意想不到的事情發生了，不論從哪一種構型開始，由不同顏色間雜組成的棋盤式的花樣，在旋轉之后藍色塊都要分解成碎片，紅色塊則越聚越攏，最后匯成一個其中包含著大量小尺度混沌流的卵圓形大紅斑，在四周混亂的湍流海洋背景中穩定而相容地存在著。這就是大尺度的紅斑！馬爾卡斯得出結論說：大紅斑是一個非線性作用的產物；一個復雜系統既可以造成湍流，同時也可以相互協調形成一種空間上局域、時間上長壽、相對穩定的相干結構。
確定性系統中的混沌現象的研究
龐加萊關于三體問題的開創性研究
科學認識的步伐，走出一條“之”字形路線：“混沌”讓位于“規則”——這是牛頓所建立的偉大功績；而“規則”又產生出新形式的“混沌”為什么惠普云打印很慢。邁出這一步伐的第一人，是偉大的法國科學家龐加萊（1854～1912）。
龐加萊被譽為是“一只腳站在19世紀，一只腳站在20世紀”的跨世紀天才學者，“是最后一位傳統科學家，也是第一位現代科學家”為什么惠普云打印很慢。這位蓄胡須、戴眼鏡、和藹可親、不修邊幅、帶著心不在焉的糊涂外表的沉思者，卻是一位科學上的集大成者，在數學、天體力學、物理學和科學哲學等領域，都做出了杰出的貢獻。他通曉他的時代的全部數學，在每一個重要分支里都做出了富有創造性的工作。這使他成為世界數學界無可爭辯的領袖。正是這位科學巨擘，在確定論思想濃重籠罩著全部科學界的時候，卻把智慧的眼光投向早被驅趕出科學園地的混沌深淵。他是在研究天體力學，特別是“三體問題”時發現混沌的。1887年，瑞典國王奧斯卡二世（1829～1907）懸賞2500克朗，征求天文學中一個重要問題的答案。這個問題就是“太陽系是穩定的嗎？”其實這是牛頓本人早就提出來的一個老問題了。牛頓以當時已觀測到的木星和土星運動的不規則性以及彗星以極扁的軌道橫穿所有行星的公轉軌道所可能帶來的干擾作用為依據，提出了太陽系的運動可能會陷入紊亂的擔心。此后不少科學家都對這個問題進行過探索。直到1784年，拉普拉斯根據萬有引力理論證明，太陽系是一個完善的自行調節的機械機構，行星之間的相互影響和彗星等外來天體所造成的攝動，最終都會自行得到改正。所以，太陽系作為一個整體是穩定的，它將無限期地繼續做著目前的周期運動。但是看來，拉普拉斯的答案并沒有消除科學界的這個疑慮，沒有阻止100年后瑞典國王的懸賞征文。
龐加萊自然向奧斯卡國王的難題發起了進攻為什么惠普云打印很慢。但是這個問題是太困難了，它涉及到了怎樣研究復雜動力系統的穩定性這個深刻的問題。連龐加萊這樣的天才學者，也未能徹底攻克它。但是，他卻為了做這一工作而創立了一個新的數學分支——拓撲學，并大大推進了人們對這個歷史難題的認識。他因此獲得了這項獎金。
在太陽系中，包含著十多個比月球大的巨大天體，這是造成解題困難的根本原因為什么惠普云打印很慢。如果太陽系僅僅由太陽和地球組成，這就是一個“二體系統”，問題則很簡單，牛頓早已完全解決了它們的運動問題。它們的運動是簡單而規則的周期運動，太陽和地球將圍繞一個公共質心、以一年為周期永遠運轉下去；或者稍做簡化地說，地球將以太陽為一個焦點，周而復始地沿橢圓軌道繞轉。然而，當增加一個相當大的天體后，這就成了一個“三體系統”，它們的運動問題就大大復雜化了，要徹底解決這個問題，幾乎是不可能的。對短時間內的運動狀態，可以用數值計算的方法來確定；但是由于根據牛頓力學所列出的方程組不能解析地求解，所以系統長時間的運動狀態是無法確定的。
為了減少解決“三體問題”的難度，龐加萊著眼于美國數學家希爾（Hill，George William 1838～1914）提出的一個極為簡化的三體系統，即“希爾約化模型”為什么惠普云打印很慢。三體中有一個物體的質量非常小，它對其它兩個天體不產生引力作用，就像由海王星、冥王星和一粒星際塵埃組成的一個宇宙體系一樣。這兩顆行星就像一個“二體系統”一樣繞著它們的公共質心做周期運動；但這顆塵埃卻受到兩顆行星萬有引力的作用，在兩顆行星共同形成的旋轉著的引力場中做復雜的軌道運動。這種運動不可能是周期的，也不可能是簡單的，看上去簡直是亂糟糟一團（圖2）。
為了用幾何方法直觀地描繪運動的情況，可以以描述系統狀態的狀態參量為坐標張成的“相空間”來描繪運動過程為什么惠普云打印很慢。某一時刻系統的狀態在相空間里用一個點表示；系統狀態隨時間的變化，即系統運動方程的解，對應于相空間的一條曲線，稱為“相軌道”；如果物體做周期運動，它的相軌道就是一條閉合曲線；如果曲線不閉合，則表示物體的運動是非周期的。但是，為了確定系統的運動是不是周期性的，與其自始至終地跟蹤系統運動的全過程，不如只觀察系統的相軌道是否總會通過同一相點。設想通過相空間中一點A（初始狀態）作一個橫截面（圖3），如果系統的相軌道總在同一點A穿過截面，那么系統的運動就是周期性圖3用龐加萊截面考察運動情況：的；相反，如果系統的相曲線1表示周期運動軌道每次都在不同點穿曲線2為非周期運動過這個截面，它的運動就是非周期的。這個截面現被稱為“龐加萊截面”，它把對連續曲線（相軌道）的研究簡化為對點的集合的研究，相當于對系統的全部運動過程進行不連續的抽樣檢驗，從而簡化了檢測工作。
龐加萊把他的截面方法應用于“希爾約化模型”的研究，以觀察塵埃粒子的運動為什么惠普云打印很慢。龐加萊震驚了，他發現塵粒的運動如此復雜而且違反直覺。它的軌線多次穿過截面所形成的交點竟連綴成無窮多交點的“柵欄”（圖4，現稱為“同宿柵欄”）。他寫道：
當人們試圖描畫由這兩條曲線和它們的無窮次相交（每一次相交都對應于一個雙漸近解）構成的圖形時，這些相交形成一種格子、絲網或無限密集的網柵結構；這兩條曲線從不會自相交叉，但為了無窮多次穿過絲網的網節，它們必須以一種很復雜的方式折疊回自身之上為什么惠普云打印很慢。這一圖形的復雜性令人震驚，我甚至不想把它畫出來。沒有什么能給我們一個三體問題復雜性的更好的概念了①。
從截面上一點出發的系統，經過一個過程后，當它再穿過截面時，卻在另一點交于龐加萊截面，簡直無法預言它下一次將從哪一點穿過截面；實際上系統是以無規的點的序列頻頻穿過龐加萊截面的為什么惠普云打印很慢。這就是混沌，龐加萊在“三體問題”中發現了混沌！這一發現表明，即使在“三體系統”，甚至是極為簡化的“希爾約化模型”中，牛頓力學的確定性原則也受到了挑戰，動力系統可能出現極其驚人的復雜行為。并不像人們原來認為的那樣，動力系統從確定性的條件出發都可以得出確定的、可預見的結果；確定性動力學方程的某些解，出現了不可預見性，即走向混沌。
其實，在龐加萊動手解決奧斯卡國王的難題的同一年，即1887年，數學家布倫斯（Bruns，H.）就已證明，三體問題的9個自由度18個二階微分方程，只有10個運動積分，即3個動量積分，3個角動量積分，3個關于質心運動的積分和1個能量積分為什么惠普云打印很慢。1890年，龐加萊將布倫斯的結論推廣到有攝動參數的情況；1892年在他的三卷本《天體力學新方法》的第一卷第四章中，他對這個定理做出了一般表述：在通常的保守問題中，經典力學正則方程除了滿足能量積分外，不滿足其它任何解析、一致的積分。龐加萊的一般性結論，實質上是指出，可積系統是極少的；許多行為很規則的系統，當受到擾動后，可能出現不連續性，其參數或初始條件的微小變化，就可能引起復雜的、甚或是性質上的變化。
龐加萊的工作提出了經典力學的確定性原則的適用限度的重大問題，留下了極富啟發性的論斷和猜想為什么惠普云打印很慢。不過，混沌問題是太復雜了，龐加萊的時代還不具備揭示和描述混沌現象的足夠的知識儲備和數學工具。雖然憑著他超人的幾何直覺對混沌的復雜性有所洞察，但是他并不真的是“不想”畫出他所發現的“同宿柵欄”，而是“無法”把它畫出來。這是只有用電子計算機技術才能處理的復雜幾何圖象。龐加萊的思想是太超前于他的時代了，所以他的發現在半個多世紀里并未受到科學界的重視；牛頓力學確定性的帷幕，仍然厚厚地遮蔽著混沌廣闊富饒的研究領域。
3．伯克霍夫的工作與KAM定理
美國數學家伯克霍夫（Birkh off，George 1884～1944）是20世紀初少數幾個認識到龐加萊動力系統研究工作的重要性的人物之一，他繼承和發展了龐加萊的工作為什么惠普云打印很慢。
伯克霍夫把龐加萊截面方法用于探索哈密頓系統的一般行為為什么惠普云打印很慢。他發現微分方程的性質取決于正則級數的收斂性。如果正則級數是收斂的，則微分方程的解位于N維不變環面上。但實際上級數的收斂、發散與否取決于振幅的大小。當考慮非線性作用時，橢圓不動點周圍的不變環面有些遭到破壞，有些繼續存在但有點變形。
1932年，伯克霍夫證明，對應于不變環面的消失，存在不穩定區域，它可以被一條扭曲映射下的不變曲線所包攏，而區域內并無環繞原點的不變曲線為什么惠普云打印很慢。他實際上已經證明，任意接近外邊界的點，在映射作用下可以任意接近內邊界，反之亦然。在研究不穩定區的結構時，伯克霍夫讓一個收縮性的扭曲映射作用于兩條不變曲線之間的不穩定區域，結果不穩定區域被映射到一個更小的子區域中；映射的迭代最終把原區域變成了一個面積為零、結構極其復雜的極限集合，位于原區域中的點的軌跡都收斂到這個集合中去了。
伯克霍夫實際上已經發現了“混沌行為”和現在所說的“奇怪吸引子”的實例，他當時稱之為“奇特曲線”為什么惠普云打印很慢。更值得提出的是，他已經意識到這種行為是動力系統的通有行為。除伯克霍夫等極少數人之外，幾乎沒有人沿著龐加萊的道路前進。直到20世紀60年代以后，對動力系統的研究才有了長足的進展。
1960年前后，前蘇聯數學家柯爾莫果洛夫（Kolmogorov，A.N.）、阿諾德（Arnold，V.I.）和莫塞爾（Moser，J.）提出并證明了以他們的姓氏的字頭命名的KAM定理為什么惠普云打印很慢。這個定理的基本思想是1954年柯爾莫果洛夫在阿姆斯特丹舉行的國際數學會議上宣讀的《在具有小改變量的哈密頓函數中條件周期運動的保持性》短文中提出的。后來他的學生阿諾德做出了嚴格的證明，莫塞爾又推廣了這些結果。
按照分析力學方法為什么惠普云打印很慢，N個自由度系統的哈密頓函數是H=H（p1，p2……pN；q1，q2……qN），系統的運動由哈密頓正則方程
確定為什么惠普云打印很慢。如果能夠找到一系列正則變換，從廣義動量p1，p2……pN和廣義坐標q1，q2……qN變到另一套作用-角度變量J1，J2……JN和θ1，θ2……θN，使得利用新變量表示的哈密頓函數只依賴于前一半變量J1，J2……JN，而與θ1，θ2……θN無關，則這個力學系統就是完全可解的，即為一可積系統。因為這意味著這個系統的行為可化簡，歸約為N維環面上的條件周期運動。相反，如果找不到一種變換，使得哈密頓方程只包含作用變量，則系統是不可積的。實際上，對于多數保守系統，是無法找到這種正則變換的。
KAM定理是關于近可積系統的一個重要的、一般性結論，有十分重要的意義為什么惠普云打印很慢。假定系統的哈密頓函數分為兩部分
其中H0部分是可積的，V是使H變得不可積的擾動，只要ε很小，這就是一個弱不可積系統為什么惠普云打印很慢。KAM定理斷言，在擾動較小，V足夠光滑，離開共振條件一定距離三個條件共同成立下，對于系統的大多數初始條件，弱不可積系統的運動圖象與可積系統基本相同。可積系統的運動限制在由N個運動不變量決定的N維環面上，而弱不可積系統的絕大多數軌道仍然限制在稍有變形的N維環面上，這些環面并不消失，只有輕微的變形，稱為不變環面。不過，只要有非零的擾動，總會有一些軌道逃離不變環面，出現不穩定、隨機性的特征；但只要滿足KAM定理的條件，這些迷走軌線是零測度的，不代表系統的典型行為。
大量的計算機數值實驗表明，破壞KAM定理的任何一個條件，都會促使迷走軌線增多，使運動的不規則性和隨機性增大，最終導致混沌運動為什么惠普云打印很慢。當然，這運動所遵循的仍然是決定性的牛頓力學方程式。所以，KAM定理以一個限制性原理的形式，從反面泄露了有關牛頓力學面目的真實信息。它暴露出，確定性的動力系統，只要精確地從同一點出發，其運動就是一條確定的軌道；但是只要初始條件有無論多么微小的變化，其后的運動就會變得無序和混亂，就如同擲骰子一樣，是隨機和不可預測的。這就是牛頓力學的內稟隨機性。
4．洛侖茲關于氣象預報的研究
混沌研究上的一個重大突破，是在天氣預報問題的探索中取得的為什么惠普云打印很慢。
1922年，英國物理學家和心理學家理查孫（Richardson，LewisFry 1881～1953）發表了一篇題為《用數值方法進行天氣預報》的文章為什么惠普云打印很慢。在文章的末尾，他提出了一個異想天開的幻想：在一個大建筑內，集聚一大批長于計算的工作者，在統一指揮下相互協調地對影響天氣變化的各種數據進行計算。他估計，為了使天氣預報和實際的天氣變化達到同步，大約需要64000個熟練的計算者。他設想，在遙遠的將來，有朝一日或許有可能發展出比天氣變化還要快的計算手段，從而使天氣預報夢想成真。真是先知之見，不到30年，電子計算機就出現了，并且成功地用于天氣預報。在牛頓力學確定論思想的影響下，當時科學家們對天氣預報普遍持有這樣樂觀的看法：氣象系統雖然復雜異常，但仍然是遵循牛頓定律的確定性過程。在有了電子計算機這種強有力的工具之后，只要充分利用遍布全球的氣象站、氣象船、探空氣球和氣象衛星，把觀測的氣象數據（氣壓、溫度、濕度、風力等）都及時準確地收集起來，根據大氣的運動方程進行計算，天氣變化是可以做出精確預報的。既然天文學家能夠根據牛頓定律，用鉛筆和計算尺計算出了太陽系的未來，預見了哈雷彗星的出沒以及海王星和冥王星的存在，勾劃出了人造衛星和洲際導彈的準確軌跡，那么為什么對于風和云就做不到呢？只要有一臺功能高超的計算機來充任拉普拉斯設想的“智者”，天氣的變化就會在人們精確的預言中。計算機之父約翰#8226;馮#8226;諾意曼就認為氣象模擬是計算機的理想的用武之地。他甚至認為，天氣狀況不僅可以預報，而且是可以人工控制和改變的。美國氣象學家、麻省理工學院的洛侖茲（Lorenz，Edward）最初也接受了這種觀點。1960年前后，他開始用計算機模擬天氣變化。
洛侖茲有良好的數學修養，他本想成為一個數學家，只是由于第二次世界大戰的爆發，他成了空軍氣象預報員，使他成了一位氣象學家為什么惠普云打印很慢。比起龐加萊來，洛侖茲的條件是太優越了。他擁有一臺“皇家馬可比”計算機，它是用真空管組成的，雖然運算速度還不算快，但在當時已經是很了不起的了。洛侖茲把氣候問題簡化又簡化，提煉出影響氣候變化的少而又少的一些主要因素；然后運用牛頓的運動定律，列出了12個方程。這些方程分別表示著溫度與壓力、壓力與風速之間的關系等等。他相信，運動定律為數學確定性架起了橋梁，12個聯立方程可以用數值計算方法對氣象的變化做出模擬。開始時，洛侖茲讓機器每分鐘在打印機上打出一串數字，表示出一天的氣象，包括氣壓的升降，風向的變化，氣溫的起伏等。洛侖茲把這些數據與他心目中的預測相對比，感覺到某種熟悉的東西一次一次地重復出現。氣溫上升又下降，風向向北又向南，氣壓升高又降低；如果一條曲線由高向低變化而中間沒有隆起的部分，隨后就會出現兩個隆起部分。但是他又發現，這種重復決不是精確的，一次與一次絕不完全吻合。這個結果已經開始向洛侖茲透露著某種奧秘了。
1961年冬季的一天，洛侖茲用他的計算機算出了一長段數據，并得出了一個天氣變化的系列為什么惠普云打印很慢。為了對運算結果進行核對，又為了節省點時間，他把前一次計算的一半處得到的數據作為新的初始值輸入計算機。然后他出去喝了杯咖啡。一個小時后當他又回到計算機旁的時候，一個意想不到的事情使他目瞪口呆了，新一輪計算數據與上一輪的數據相差如此之大，僅僅表示幾個月的兩組氣候數據逐漸分道揚鑣，最后竟變得毫無相近之處，簡直就是兩種類型的氣候了。開始時洛侖茲曾經想到可能是他的計算機出了故障，但很快他就悟出了真相：機器沒有毛病，問題出在他輸入的數字中。他的計算機的存儲器里存有6位小數，0.506127。他為了在打印時省些地方只打出了3位0.506。洛侖茲原本認為舍棄這只有千分之一大小的后幾位數無關緊要；但結果卻表明，小小的誤差卻帶來了巨大的“災難”。
為了仔細看一下初始狀態原本十分相同的氣候流程，如何越來相差越大，洛侖茲把兩次輸出的變化曲線打印在兩張透明片上，然后把它們重疊在一起（圖5）為什么惠普云打印很慢。一下子就清楚地看出來，開始時的兩個隆峰還很好地相重疊，但到第三個和第四個隆峰時，就完全亂套了。這個結果從傳統觀點看來是不可理解的。
因為按照經典決定性原則，初始數據中的小小差異只能導致結果的微小變化；一陣微風不會造成大范圍的氣象變化為什么惠普云打印很慢。但是洛侖茲是從事天氣預報的，他對長期天氣預報的失敗是有深切感受的。這個離奇古怪的計算結果與他的經驗和直覺是完全相符的。所以他深信他的這些方程組和計算結果揭露了氣象變化的真實性質。他終于做出斷言：長期天氣預報是根本不可能的！他甚至有些慶幸地說：“當然，我們實在也不曾做準過氣象的長期預報，而現在好了，我們找到了開脫！”“對于普通人來說，看到我們可以在幾個月前就很準地預報了潮汐，便會問：為什么對大氣就不能準確預報呢？確實，大氣雖然是一個與潮汐不同的系統，但支配它們的定律的復雜程度卻是差不多的。但我認為，任何表現出非周期性態的物理系統，都是不可預測的。”①事實正是這樣，即使在今天，世界上最好的天氣預報也只能一天可靠，超過兩三天，就只是猜測。
洛侖茲是個穿著氣象學家外衣的數學家，他很快看出了氣候變化不能精確重演與長期天氣預報的不可能二者之間存在著一種必然的聯系為什么惠普云打印很慢。用數學語言來說，就是“非周期性”與“不可預見性”之間的聯系。氣象系統是不斷重復但又從未真正重復的，這叫做“非周期系統”。如果氣候的變化是嚴格的周期性的，即某一時刻各個地方的壓力、溫度、濕度、每一片云、每一股風都和此前某一時刻的情況完全一樣，那么這一時刻以后的天氣變化也將和此前那一時刻以后的天氣變化完全相同，于是天氣就會循環往復地永遠按照這個變化順序反復重現，精確的天氣預報也就成了平淡無奇的事情了。
基于這種認識，洛侖茲就把氣候問題丟在一邊，專心致力于在更簡單的系統中去尋找產生復雜行為的模式為什么惠普云打印很慢。他抓住了影響氣候變化的重要過程，即大氣的對流。受熱的氣體或液體會上升，這種運動就是對流。烈日烘烤著大地，使地面附近的空氣受熱而上升；升到高空的空氣放熱變冷后，又會從側面下降。雷雨云就是通過空氣的對流形成的。如果對流是平穩的，氣流就以恒定的方式漸漸上升；如果對流是不平穩的，大氣的運動就復雜化了，出現某種非周期性態。這與天氣變化有某種類似。于是，洛侖茲就從表征著流體運動過程的納維-斯托克斯方程組出發，經過無量綱化處理并做傅立葉展開，取頭一、二項，得到傅立葉系數滿足的一組常微分方程。與大氣的實際對流運動相比，這組方程是大為簡化了，它只是抽象地刻劃了大氣真實運動的基本特點，既考慮了流動的速度，又考慮了熱的傳輸，與真實的大氣運動是大體類似的。他建立的三個方程是dx/dt=10(y-x)
dy/dt=28x- y-xz
dz/dt=(8/3)z+xy
x、y、z是三個主要變量，t是時間，d/dt是對時間的變化率；常數28對應于不平穩對流剛開始后系統的狀態為什么惠普云打印很慢。這就是1963年洛侖茲發表在《氣象科學雜志》20卷第2期上的題為《確定性非周期流》中所列出的方程組。由于其中出現了xz、xy這些項，因而是非線性的，這意味著它們表示的關系不是簡單的比例關系。一般地說，非線性方程組是不可解的，洛侖茲的方程組也是不能用解析方法求解的，唯一可靠的方法就是用數值方法計算解。用初始時刻x、y、z的一組數值，計算出下一個時刻它們的數值，如此不斷地進行下去，直到得出某一組“最后”的數值。這個方法叫做“迭代”，即反復做同樣方法的計算。用計算機進行這種“迭代”運算是很容易的。洛侖茲把x、y、z作為坐標畫出了一個坐標空間，描繪了系統行為的相軌道，他吃驚地發現，畫出的圖顯示出奇妙而無窮的復雜性（圖6）。這是三維空間里的雙重繞圖，就像是有兩翼翅膀的一只蝴蝶；它意味著一種新的序，軌線被限制在某個邊界之內，決不會越出這個邊界；但軌線決不與自身相交，在兩翼上轉來轉去地環繞著。這表示系統的性態永遠不會重復，是非周期性的，從這一點來說，它又純粹是無序的。
正如這篇論文的標題所表示的，從確定性的方程和確定的初始狀態（x、y、z的初始值）出發，經過多次迭代后，卻得出了非周期性態的結果為什么惠普云打印很慢。這就是混沌！一切有關混沌的豐富內容，都包含在這幅奇妙的畫圖中了。
現在就可以說明什么是現代科學意義上的“混沌”概念了為什么惠普云打印很慢。1986年在倫敦召開的一個關于混沌問題的國際會議上，提出了下述的定義：“數學上指在確定性系統中出現的隨機性態”。傳統觀點認為，確定性系統的性態受精確的規則支配，其行為是確定的，可以預言的；隨機系統的性態是不規則的，由偶然性支配，“隨機”就是“無規”。這樣看來，“混沌”就是“完全由定律支配的無定律性態”，這真是一個大自然的“悖論”。
5．“蝴蝶效應”和“斯梅爾馬蹄”
無規性的源泉在于初始條件的選擇為什么惠普云打印很慢。一個動力系統的行為或運動軌道決定于兩個因素。一個是系統的運動演化所遵從的規律，如牛頓定律；一個是系統的初始狀態，即初始條件。經典力學指出，一個確定性系統在給定了運動方程后，它的軌道就唯一地取決于初始條件，一組初始值只有一條軌道，這就是系統行為對初值的依賴性。
但是，任何測量都是有誤差的，所以任何時候都不可能絕對精確地測定初始值為什么惠普云打印很慢。實驗上給出的初值都只能是近似的。這個誤差對系統的行為會不會有嚴重影響呢？經典力學斷言，系統的行為或運動軌道對初值的依賴是不敏感的，知道了一個系統近似的初始條件，系統的行為就能夠近似地計算出來。這就是說，從兩組相接近的初值描繪出的兩條軌道，會始終相互接近地在相空間里偕游并行，永遠不會分道揚鑣，泛泛的小影響不會積累起來形成一種大的效應。
混沌研究卻粉碎了傳統科學中這種對近似性和運動的收斂性的信仰為什么惠普云打印很慢。處在混沌狀態的系統，或者更一般地說對于一個非線性系統，運動軌道將敏感地依賴于初始條件。洛侖茲已經發現，從兩組極相鄰近的初始值出發的兩條軌道，開始時似乎沒有明顯的偏離，但經過足夠長的時間后，就會呈現出顯著的差異來（圖5）。這就是說，初值的微小差異，在運動過程中會逐漸被放大，終會導致運動軌道的巨大偏差，以至于這種偏差要多大就有多大。在科學實驗中，一種變化過程可能有一個臨界點，在這一點上，一個微小的擾動可能被放大成一個重大的變化。而在混沌中，這種點無處不在，確定性系統初值的微小差異導致了系統整體的混沌后果。
小的誤差竟能帶來巨大的災難性后果，這一點早在1908年就被目光敏銳的龐加萊洞察到了為什么惠普云打印很慢。他在他的名著《科學與方法》中寫道：
我們覺察不到的極其輕微的原因決定著我們不能不看到的顯著結果，于是我們說這個結果是由于偶然性為什么惠普云打印很慢。如果我們可以正確地了解自然定律以及宇宙在初始時刻的狀態，那么我們就能夠正確地預言這個宇宙在后繼時刻的狀態。不過，即使自然定律對我們已無秘密可言，我們也只能近似地知道初始狀態。如果情況容許我們以同樣的近似度預見后繼的狀態，這就是我們所要求的一切，那我們便說該現象被預言到了，它受規律支配。但是，情況并非總是如此；可以發生這樣的情況：初始條件的微小差別在最后的現象中產生了極大的差別；前者的微小誤差促成了后者的巨大誤差。預言變得不可能了，我們有的是偶然發生的現象①。這一段幾乎是百年前的話，不正是我們近幾十年才揭開的混沌來源之謎嗎？
洛侖茲從他關于長期天氣預報的研究中悟出的正是這個道理為什么惠普云打印很慢。對于任何小塊地區氣候變化的誤測，都會導致全球天氣預報的迅速失真。不論氣象觀測站的網點如何密集，都不可能覆蓋整個地球和從地面到高空的每一高度。在一尺之遙的空間范圍內的一點氣象漲落，都可能迅速波及到一尺之外、十尺之外、百尺之外的空間，小誤差通過一系列湍流式的鏈鎖反應，集結起來而成十倍、百倍、千倍地膨脹擴大，終于使天氣預報變成一派胡言，在跨洋隔洲的地區形成山雨欲來風滿樓的景象。洛侖茲非常形象地比喻說：巴西亞馬孫河叢林里一只蝴蝶扇動了幾下翅膀，三個月后在美國的得克薩斯州引起了一場龍卷風。人們把洛侖茲的比喻戲稱為“蝴蝶效應”。這個看法當時并不為氣象學家們所接受。據說洛侖茲把“蝴蝶效應”說給他的一個朋友以說明長期天氣預報不可能時，他的朋友回答說“預報不會成為問題”，“現在是要搞氣象控制”。洛侖茲卻不這樣看，他認為，人工改變氣候當然是可能的；但是當你這樣做時，你就無法預測它會產生什么后果。簡單的確定性系統如何會導致長期行為對初值的敏感依賴性呢？理解這一點的關鍵是要理解混沌的幾何特性，即由系統內在的非線性相互作用在系統演化過程中所造成的“伸縮”與“折疊”變換。美國拓撲學家斯梅爾（Smale，Stephen 1930～）對此做出了重要貢獻。
斯梅爾是一個杰出的拓撲學家，本來在多維拓撲學的一些最奇特的問題上已經卓有成就為什么惠普云打印很慢。1958年，他開始對動力系統的微分方程進行深入研究，并發表了一篇過于樂觀的論文。他在這篇論文里提出了一個錯誤的猜想。他用極為嚴謹的數學語言論證說，一切動力系統最終都將進入一個并不十分奇異的行為；或者說，典型的動力學行為是定態的或周期的。雖然，一個動力系統可能會出現離奇古怪的性態，但斯梅爾認為這種性態不會是穩定的。后來斯梅爾曾回憶說：“我的過分樂觀引導我在那篇論文里認為，幾乎所有常微分方程系統都是這樣一些（結構穩定的）系統！”①他說如果他多少了解些龐加萊、伯克霍夫等人的文獻，他就不會有那種愚蠢的思想。
1959年圣誕節后，斯梅爾一家正在巴西首都里約熱內盧暫住，他接到了他的朋友萊文松（Levinson，N.）的 ，指出他的猜想是錯誤的，并告訴他自己關于受迫范德坡方程的研究已經提供了一個反例為什么惠普云打印很慢。早在本世紀20年代，德國物理學家范德坡（Van der Pol，B.）就已開始研究非線性電路的弛豫振蕩問題，并得出了以他的名字命名的范德坡方程和受迫范德坡方程。1927年，范德坡又和范德馬克（Van der Mark，J.）發現了著名的“分頻”現象。萊文松用這個反例說明，一個系統既有混沌又有穩定性，混沌與穩定性共存；系統的這種奇特性質并不為小的擾動所破壞。
當斯梅爾仔細研究了萊文松的文章，最后確信萊文松是對的時，他就把自己的猜想換成了另一個問題：典型的動力行為是什么？斯梅爾多年來是在拓撲學中進行探索的，他利用相空間對范德坡振子的全程可能性進行探索為什么惠普云打印很慢。他注意的并不只是單條的軌線，而是全空間的性態；他的直覺由這系統的物理本質躍進到一種新型的幾何本質。他思考的是形狀在相空間中的拓撲變換，例如拉伸或壓縮變換。這些變換有明確的物理意義。如系統中的耗散，由于摩擦而喪失能量，意味著系統在相空間中的形狀將會收縮，甚至可能最終完全靜止下來收縮到一點。為了反映范德坡振子的全部復雜運動性態，他想到相空間必須經歷一種新的變換組合。這使他從觀察振子的總體行為提出了一種幾何模型——“斯梅爾馬蹄”。
斯梅爾馬蹄的道理很簡單為什么惠普云打印很慢。取一個正方形，把它拉伸為瘦長的矩形，再把它對折彎疊成馬蹄形（圖7）。然后想象把這馬蹄嵌入一個新的矩形中，再重復相同的變換：擠壓、折曲、拉伸……
這實際上就像廚師揉面團的操作過程：首先是伸縮變換，使面團在一個方向搟平壓薄，同時在另一個方向上伸長；然后是折疊變換，將拉長的兩塊面對折疊置為什么惠普云打印很慢。這種操作反復進行下去。可以設想，開始時先在面團上擦一層紅顏色，那么在廚師揉面過程中，紅色層將被拉長、變薄、交疊起來。經過多次反復操作后，原來相鄰近的兩個紅色粒子會越來越遠地分離開去，原來不相鄰近的兩個紅色粒子卻可能越來越靠近了。
動力系統正是通過這兩種變換而形成渾沌軌道幾何圖象的復雜性的為什么惠普云打印很慢。伸縮變換使相鄰狀態不斷分離而造成軌道發散。但僅有伸縮變換還不足以擾亂相空間造成復雜性，還必須通過折疊變換。折疊是一種最強烈的非線性作用。伸縮和折疊的混合并不斷反復，才可能產生動力系統相軌道的分離、匯合，產生無可預見的不規則運動。在混沌區內，相空間中的伸縮與折疊變換以不同的方式永不停息又永不重復地進行，從而造成了相軌道永不自交又永不相交的穿插盤繞、分離匯聚，完全“忘掉了”初始狀態的一切信息，“丟棄了”未來與過去之間的一切聯系，呈現出混沌運動。這就是系統長期行為對初值的敏感依賴性的源由。
本來，斯梅爾企圖只用拉伸與擠壓去解釋一切動力系統的行為，而不用會大大損害系統穩定性的折疊變換為什么惠普云打印很慢。但是折疊是必要的，因為折疊使動力系統的行為有動力性態上的根本變化，是導致混沌的一種重要作用。斯梅爾馬蹄給數學家和物理學家提供了一個對動力系統運動的可能性的直觀理解的幾何圖象。
6．“周期倍化分叉”的發現
在動力系統演化過程中的某些關節點上，系統的定態行為可能發生性質的改變，原來的穩定定態變為不穩定定態，同時出現新的更多的定態，這種現象叫作“分叉”（bifurcation）為什么惠普云打印很慢。分叉是由運動方程中參數的變化引起的，所以往往要用“參數空間”來描繪分叉現象。隨著參數的變化，分叉可以一次接一次地相繼出現，而這種分叉序列又往往是出現混沌的先兆，最終會導致混沌。
生物群體數量（“蟲口”）變化的研究以及涉及到的一類典型一維映射的分叉現象的研究，在20世紀70年代混沌學的創立和發展中曾經起到過特殊的作用為什么惠普云打印很慢。
澳大利亞昆蟲學家尼科爾森（Nicholson，A.J.）曾經在一個大瓶子里用有限的蛋白質食物喂養了一瓶子綠頭蒼蠅，研究受到空間和食物限制的蒼蠅群體數目（“蠅口”）的變化為什么惠普云打印很慢。他觀察到有時綠頭蒼蠅可繁殖到將近一萬只；過些時候又會降至幾百只。蠅口繁殖過快超過容器的空間限制后數目就急劇減少，而活動空間的擴大又使蠅口快速增長；蠅口決不會單調增大或單調減少，呈現一種周期性的漲落。尼科爾森發現，這個循環周期大約是38天。但每個周期內蠅口數卻可能出現兩個峰值，而且到約450天后，蠅口的變化（振蕩）變得極不規則。在這個實驗中，蠅口數的變化包括了周期性、擬周期性和混沌。
看來，生物群體應被看做是一個動力系統，是受著某種動力驅使的為什么惠普云打印很慢。在食物受限制的地域單種生物在起起落落地繁殖著；幾種生物共存的區域，各種生物在生存競爭中此長彼消；在捕食者與被食者之間，存在著雙向抑制作用；在宿主群體內部，流行病在傳播。……這一切因素，都對生物群體起到約束作用，把群體限制在更合理的數目上。
生態學家們一直試圖為生物群體增減尋找一個數學模型為什么惠普云打印很慢。一個合理的簡化就是用離散的時間間隔去模擬蟲口的變化。因為許多生物群體的數目基本上都是按照一年的時間間隔變化的，而不是連續時間的變化。更有一些昆蟲，它們只在一年中的特定季節里繁殖，所以它們的一代一代之間決不會重疊。一年一年的變化，正是生態學家所要了解的全部信息。因此，描寫生物群體的方程不是連續的微分方程，而是比較簡單的差分方程，這是一種迭代模型，即逐年逐年地反復用同一個函數進行數值運算，它可以反映由一個狀態（數目）到另一個狀態（數目）的跳躍變化。
這個差分方程應該反映出以下影響蟲口增減的因素：第一，蟲口的增長必定與前一年的蟲口數目成正比，這是一個線性關系，比例系數k即群體的增長率；第二，蟲口的增長又受到空間、食物、流行病等許多因素的限制，不可能無限增長為什么惠普云打印很慢。實際情況是，群體小時穩定增長，群體適中時增殖量近于零，群體暴漲時急劇下降。
一個較好的方程是由迭代邏輯斯蒂映射所得到的非線性邏輯斯蒂（Logistic）差分方程
xt+1=kxt(1-xt)
x表示蟲口的相對數，它被定義為介于0和1之間的數，0代表滅絕，1代表群體的最大蟲口數；t表示時間，它只能以整數0，1，2，3……跳躍；生殖增長率k代表了這一模型的一個十分重要的特征，表示拉伸或壓縮的程度，也即非線性程度為什么惠普云打印很慢。從幾何學上講，邏輯斯蒂映射表示以不均勻的方式拉伸或壓縮一個線段，然后再加以折疊。對于一個生物群體來說，參數k越低，意味著群體最終將在較低的數量水平上滅絕；參數k的值提高以后，群體的數量也不會無限增長，這是可以理解的。但是計算表明，在k值提高后，群體卻不可能收斂于一個定態水平，這是令人費解的。
20世紀70年代，美國普林斯頓大學的生態學家羅伯特#8226;梅（Robert May）開始利用計算機對這種單一群體生物隨時間而變化的最簡單的生態學方程進行系統的研究為什么惠普云打印很慢。他對這一非線性參數試用不同的值進行迭代計算。他發現，改變的不僅僅是輸出的數量，而且也改變了輸出的性質；因為它不僅影響著平衡時群體的數值，而且還影響群體是否能夠實現平衡。
梅編制了計算機程序，慢慢增加k值，對方程進行數值運算為什么惠普云打印很慢。他發現，當k值小于1時，在0到1之間任意取初值x0，經過若干次迭代，蟲口數趨于終態x*=0，表示生物群體將滅絕，這是可以預料的。當1＜k＜3時，任取初值x0，經過一系列迭代（演化過程）后，蟲口數越來越趨于一個穩定態x*=1-1/k；如取k=2，則蟲口數將最終穩定在x*=0.5；若取k=2.4，則x*=0.5833；若取k=2.7，則x*=0.6292；隨著k值的增大，穩定平衡值也會增大，但系統的行為沒有質的變化，都會達到一個穩定的定態（即蟲口數達到一個穩定值）。
為了在全局上對邏輯斯蒂差分方程的解（即最終定態）做出了解，梅以參數k值的變化為橫坐標，以群體最終蟲口數為縱坐標，把二者的變化關系集攏在一張圖上（圖8）為什么惠普云打印很慢。
迭代計算發現，當k值超過3之后，系統的定態失穩了，這條線分裂為兩條，蟲口交替振蕩于兩年的兩點之間，x*值在兩個數之間一年一換地交替躍變，這是周期2循環為什么惠普云打印很慢。當k值增大到3.5左右時，周期2吸引子也開始失穩，出現周期4循環，群體的不同起始值x*都收斂于以4年為周期的循環中，每4年返回近原值一次。當k值增至3.56后，周期又加倍到8；k到3.567時，周期達到16。此后將更快地出現32、64、128……的周期倍化序列。這就是“周欺倍化級聯”；倍周期就是分叉或雙分枝現象。周期分裂再分裂，這種雙分枝越來越快地發生，以致到k=3.58左右這種分裂突然呈現崩潰之勢，周期性態就變成混沌，蟲口的漲落再也不會確定下來，蟲口的逐年變化完全成為隨機的，全部區域染成了墨色。
這么簡單的動力學系統，在非線性作用下，當k從0趨向4時，其動力學性態的復雜性逐步增加，即從定態變為周期性態，通過周期倍化級聯而到達混沌性態為什么惠普云打印很慢。
但這還不是最終的圖景為什么惠普云打印很慢。更令人驚奇的是，在這個復雜的區域中又會突然出現一個有正規周期的窗口（圖8中狹窄的白條部分）；不過周期由偶數變為奇數。如當k=3.835時，出現周期3循環；輕微地增加k值，周期以新的“倍化級聯”出現6、12、24、48……周期。當k=3.739時，將得到周期5循環，此后又是雙分枝的10、20、40……的周期。愈來愈快的倍周期雙分枝再度爆發出現混沌。
這是一個十分奇妙的圖景：分叉再分叉，加快更加快，周期性態走向混沌性態，混沌區內又出現周期窗口；窗口內還有更小的窗口，出現更稠密的周期性態；放大任何窗口，都會重現整個圖景的微縮復本為什么惠普云打印很慢。
圖象特別明顯地顯示出，周期區內分叉序列中兩個相鄰分叉點之間的距離越來越快地縮短，而且似乎有某種規則的比例關系為什么惠普云打印很慢。美國物理學家費根鮑姆(Feigenbaum，Mitchell)敏銳地覺察到了這種幾何收斂的周期僵化級聯現象的規則性，對收斂的速度——標度比的值進行了深入的探討。1975～1976年，費根鮑姆在一次會議上聽到斯梅爾關于邏輯斯蒂映射及其通過周期倍化級聯走向混沌的介紹后，投入到對邏輯斯蒂映射的研究。那個時代，使用計算機是件麻煩冗長的過程，要用穿孔卡分批輸入數據，幾天后才能出結果。所以費根鮑姆寧肯用惠普HP65型可編程計算器，這是一個幸運的選擇。因為計算器算得很慢，促使操作者在結果出來以前常去思考它。為了節省時間，費根鮑姆就嘗試大致揣測級聯中的下一個分叉點可能在哪里。不久他就發現了規律，相繼的分叉點之差具有恒定的比率，前一個差值約為后一個差值的4倍，更精確地說，這二者的比率約為4.669。對一個物理學家來說，恒定比率意味著標度率，表明物理學特征必在愈來愈小的標度上再現，這當然是極為重要的。費根鮑姆用這個方法對另一個映射即三角映射x→ksin(x) 進行了計算，同樣發現了周期倍化級聯和幾何收斂現象，更為驚人的是它的標度比值也是4.669。
費根鮑姆利用計算機進行了更精確的計算為什么惠普云打印很慢。對于邏輯斯蒂映射，他很快得出了一個更精確的標度比值：4.6692016090；對三角映射重復計算，到小數點后10位，兩數完全相同。看來標度比不依賴于方程，無論邏輯斯蒂映射還是三角映射，沒有什么差別。這當然不可能是巧合。費根鮑姆的發現表明，在邏輯斯蒂映射一類的非線性映射中，倍周期分叉遵循一個普適性規律：當t→∞時，分叉間距比存在一個極限值（更精確的）δ=4.66920160910399097……
同時為什么惠普云打印很慢，分叉也在越來越窄的寬度上出現，這又是一種普適性規律：相鄰兩個分枝間的寬度按一定比率縮小，縮小因子在t→∞時也存在極限值
α=2.5029078750958928485……
這兩個常數被稱為“費根值”(Feigenvalue)為什么惠普云打印很慢。費根值的普適性也具有相對性，它只適用于具有像拋物線那樣的峰的單峰映射；對于多峰或者具有扁平峰和尖峰那樣的情況，標度比值將會不同；但每一類的映射，其標度比總是相同的。
費根鮑姆的發現，是一條普遍適用于一切從有序轉變到混沌的動力系統在轉變點上的自然規律為什么惠普云打印很慢。這種普適性不僅是結構的，而且是測度的。這一發現的意義在于，動力系統中存在著標度變換，它不僅控制著分叉花樣，而且延伸到精確數值。事物整體具有與其部分相似的結構，說明在完全確定的系統中不需要引入任何干擾，就可能出現不規則的隨機運動，這是一種內稟特性。
費根鮑姆關于普適性的發現，指引人們走上混沌科學的大道，推動了非線性科學的發展為什么惠普云打印很慢。
費根鮑姆寫道①：“物理學中有一條基本假定，那就是分析分析再分析，把事物的組成分離出來，直到你真正明白基本的東西在單純的狀態以如何簡明的規律行事，然后，你就假定那些你還不懂的事物都是細節為什么惠普云打印很慢。……”但是現在不行了，因為“大量系統底層有一反復運行之規律，需要用另一種思維去認識它。……這要拋棄純分析的方法，不能分析分析再分析。”他接著寫道：“人類要另辟新徑，必須捉住標度結構這一環，看看大家伙與小家伙的關系如何。……這產生復雜性的、持續進行的單一過程卻與大小尺寸無關，與地點無關，與時間無關，它是普適的標度變換，它存在于大與小的自相似之中，由小到大自相似的放大比率就是一個普適的費根鮑姆常數。”
最后，他感慨萬千地寫道：“大地充滿了美，引人入勝為什么惠普云打印很慢。看你是什么職業你就如何理解”。
7．湍流研究和奇怪吸引子
湍流現象普遍存在于行星和地球大氣、海洋、江河、火箭尾流、鍋爐燃燒室、血液流動等自然現象和工程技術中為什么惠普云打印很慢。湍流的出現將使流體中的質量、動量和能量的輸運速度大大加快，從而引起各種機械的阻力驟增，效率下降，能耗加大，噪音增強，結構振顫加劇乃至破壞，如使飛機墜落，輸油管阻塞。另一方面，湍流又可能加速噴氣發動機內油料的混合和充分燃燒，提高燃燒效率和熱交換效率，加快化學反應的速度和混合過程。所以湍流的研究對工程技術的進步有重要意義。同時湍流本身也是物理學領域中尚未取得重大突破的基礎研究課題之一。因此長期以來湍流的研究一直受到各方面的重視。
湍流是流體中局部速度、壓力等力學量在時間和空間中發生不規則脈動的流體運動為什么惠普云打印很慢。其基本特征是流體微團運動具有隨機性，它不僅有橫向脈動，而且有反向運動，各個微團的運動軌跡極其紊亂，各個部分之間劇烈滲混，流場極不穩定，隨時間變化很快。湍流的運動不僅有無窮多個自由度，大、中、小、微各種尺寸的渦旋層層相套，而且運動的能量迅速由大尺度運動分散到小尺度運動，錯綜復雜地由整化零，是高度耗散的。湍流是經過一次或多次突變形成的，在紊亂無規的背景中又會出現大尺度、相當規則的結構和協調一致的運動，所以給研究工作帶來極大的困難，經過一百多年的研究，現在還沒有得到令人滿意的理論解釋。有一個傳說，說量子力學家海森伯在臨終前的病榻上向上帝提了兩個問題：上帝啊！你為何賜予我們相對論？為何賜予我們湍流？海森伯說：“我相信上帝也只能回答第一個問題”。
早在1893年，龐加萊就發現了湍流問題，但又偏離了它為什么惠普云打印很慢。他發現，液體流中的渦旋通常不擴散，而是傾向于集中到單個渦旋之中。他說這一現象還沒有恰當的數學解釋。實際上他討論的是二維現象，還不是真正的湍流，但與間歇現象有明顯的聯系，表明他已很接近湍流的探討。
1895年為什么惠普云打印很慢，雷諾(Reynolds，Osborne 1842～1912)提出湍流瞬時運動可分解為時間平均和脈動兩個部分，即
其中 是相應力學量的時間平均量，f′是脈動值為什么惠普云打印很慢。將這個分解式代到納維-斯托克斯方程組中，可得到關于平均流動元素滿足的雷諾方程組。但方程組不封閉，多出6個未知的湍應力分量。只有找到湍應力和平均流動元素之間的相應關系式，才可使方程組封閉，至今這一問題仍未獲解決。
法國流體動力學家庫埃特(Couette，M.M.1858～1943)為了研究流體被扭曲的“切變流”，曾制造了一個筒里套筒的雙圓筒裝置，中間裝上水，使外筒固定，內筒旋轉，有控制地進行切變實驗為什么惠普云打印很慢。1923年，英國應用數學家泰勒(Taylor，GeoffreyIngram1886～1975)利用這種旋轉同心柱體進行實驗。當內筒轉速足夠高時，發現流體不再平穩地轉動，而是攪亂成成對的渦旋，渦旋會變成波狀，波動又此起彼伏，出現麻花渦旋、辮子渦旋等螺旋模式；轉速更高時，系統則呈湍流狀（圖9）。
由于湍流看起來包含著十分微小的渦旋，而小于原子尺度的渦旋又是不可想象的，所以可以設想湍流是原子結構的宏觀效應為什么惠普云打印很慢。1934年，法國數學家勒雷(Leray)提出，納維-斯托克斯方程在原子尺度上的不準確度，經過物理流傳播后規模變大而形成湍流。他據此解釋了湍流的間歇現象。1941年，前蘇聯科學家柯爾莫果洛夫對渦旋的性質提出了一些看法。他設想，大渦旋中形成更小的渦旋，而每一次都會消耗流體的能量；當渦旋變得非常小，粘性流體的能量也會減少到一個極限值。他認為，這些渦旋充滿流體的整個空間，使得流體處處相同。實際上這個均勻性假設并不正確，他忽視了湍流的間歇現象。40年前龐加萊就已經看到，在江河的湍流中，渦流總是和平穩流混在一起的，能量僅在空間的一部分中耗散。在湍流區域的各種尺度下，都存在著平靜的區域；在從大到小的所有尺度下，洶涌的區域與平靜的區域是互相混雜的。這就是間歇現象。
那么，平穩流是如何變成湍流的呢？也就是說湍流開始的時候是通過什么樣的步驟形成的呢？1944年，前蘇聯物理學家朗道(Landau，Lev 1908～1968)在一篇論文中提出了湍流肇始的一幅圖景：當表征系統中外力與粘滯力競爭的無量綱雷諾數為零時，流體將做光滑的平穩流動；當由于外界的擾動而使雷諾數增大時，層流中分枝出一個周期軌道，對應于流體的周期運動；當更多的能量進入流體，即雷諾數不斷增大時，每次都出現一個與上一個頻率不和諧的頻率；當頻率數足夠大時，擬周期運動即轉變為湍流為什么惠普云打印很慢。這就是說，各種不同頻率的運動的積累和疊加，相互交錯干擾，就會產生非常復雜的湍流。1948年，德國數學家霍普夫(Hopf，Eberhard1902～1983)按照同朗道一致的思路，提出了一個更加詳細的理論，即通過擺振的積累而由平穩層流轉變為湍流的具體機制。此后20多年，霍普夫-朗道理論曾被廣泛接受。
1967年，Kline首先利用氫氣泡顯示技術通過實驗發現了近壁湍流的相干結構（擬序結構）為什么惠普云打印很慢。這種大尺度的渦旋運動在將流體的平均運動動能轉變為湍流的動能的過程中，起了主要的作用。人們通過進一步的流體動力學實驗，還發現了自由剪切流的相干結構。到80年代，流體力學家們普遍認識到相干結構是對湍流的生成、維持和演化起主要作用的結構。所以有人認為相干結構的發現是湍流研究上的一個革命性的進展。不過到目前為止，關于相干結構的定義、成因和定量分析還有不少問題有待研究。
關于湍流的形成，即流體的運動是如何從層流轉變成湍流的問題，目前流行的看法是認為，在層流中由于各種原因出現的擾動波，經演化、放大、失穩而導致流體運動的不穩定，最終發展為湍流為什么惠普云打印很慢。
70年代以來，非線性科學關于混沌現象的理論和實驗研究的進展，為解決湍流理論的百年難題提供了啟示為什么惠普云打印很慢。特別為解決湍流的發生機制、小尺度混亂與大尺度結構共存等問題帶來了希望。
1971年，法國物理學家茹勒(Ruelle，David)和荷蘭數學家泰肯斯(Takens，Floris)的《論湍流的本質》一文，對湍流的研究產生了很大的影響為什么惠普云打印很慢。他們的結論否定了霍普夫-朗道關于湍流起始階段的傳統觀點。朗道和霍普夫的直覺即一系列不同頻率擺振的累積在數學上和物理學上似乎是容易理解的，但他們的理論在某種程度上是源于哈密頓動力學的，不適用于有摩擦的耗散系統。在粘滯流體的流動中充滿著摩擦。茹勒和泰肯斯指出，由平穩流向湍流的轉變，不需要一系列的頻率，只要三個獨立的運動就會產生湍流的全部復雜性。他們描繪出如下的圖景：第一次轉變，即從定態到單個擺振，產生流體中的周期運動。第二次轉變，即加上一個不同頻率的擺振，開始時像兩個獨立的周期運動的擬周期疊加，但這種運動不能繼續保持下去，微小的擾動就會破壞掉它。兩個獨立的周期運動將相互作用而變得同步，合成為具有單個合成周期的周期運動，即發生鎖頻現象。當有三個疊加頻率時，不再發生頻率的鎖定現象，而會出現一個新奇的結果，即運動進入維數不多的“奇怪吸引子”。他們認為，湍流能量的耗散，必定導致相空間的壓縮，把運動軌跡向著吸引子的低維相區推進。這個吸引子不會是不動點，因為湍流不會逐漸平息；也不會是周期吸引子，因為湍流是一種不同次序的性態，決不可能產生任何排斥其它節奏的節奏，它具有各種可能循環的整個寬譜。其相軌跡可能是一種繼續不斷變化、沒有明顯規則或次序的許多回轉曲線，所以稱為“奇怪吸引子”。茹勒和泰肯斯論文中的一些推理和證明是模糊的、錯誤的，但他們提出的“奇怪吸引子”的圖象，卻是十分吸引人的。因為湍流的產生可能很好地對應于奇怪吸引子的出現。這是對湍流產生機制的一個很好的闡明。
1973年，美國實驗物理學家斯文尼(Swinney，Harry)和戈魯布(Gollub，Jerry)利用旋轉同心柱體產生的庫埃特-泰勒流進行實驗為什么惠普云打印很慢。外面是一個玻璃圓筒，有空網球筒那么大；內柱體是用平滑的薄鋼板做成的；兩柱體之間有八分之一英寸的間隙用來裝水。他們利用激光多普勒干涉儀技術，即利用激光光束在懸浮于水中的小小鋁粉片上的散射，來測定水的速度變化。本來他們是打算驗證朗道關于由液體中不同頻率擺振的平穩積累而形成湍流的論斷。他們不斷調節內柱體的旋轉速度，反復觀察出現的躍遷。他們觀察到了朗道預言的第一個轉變的精確數據；他們大膽地尋找著下一個轉變。但是，他們未能找到預期的朗道序列，在下一個躍遷處，流一下子進入混亂狀態，一點也沒有可準確識別的新頻率；相反，卻逐漸顯出寬帶頻率。“我們的發現是，變成了混沌！”不過，當時他們還不知道茹勒-泰肯斯理論。
1974年，茹勒訪問斯文尼和戈魯布的實驗室時，三位物理學家才發現了他們的理論和實驗之間的點滴聯系為什么惠普云打印很慢。斯文尼和戈魯布沒有用他們的實驗觀察奇怪吸引子，也沒有檢測湍流最初階段的具體步驟，不過他們知道，朗道錯了；而且他們猜測茹勒是對的。
1983年，法國數學家曼德爾布羅特(Mandelbrot，Benoit)指出，湍流的耗散區域，即湍流中大大小小不同尺度的渦旋高度集中的區域，是一種間歇狀的分形結構，具有局部的自相似性為什么惠普云打印很慢。因此分形理論在湍流的研究中也有重要應用。
由于湍流的瞬時運動服從納維-斯托克斯方程，而這一方程本身就是封閉的，所以很容易直接用電子計算機數值求解完整的納維-斯托克斯方程，對湍流的瞬時流動進行直接的數值模擬為什么惠普云打印很慢。不過由于受到計算機速度和容量的限制，目前的數值模擬還只限于很低的雷諾數和很簡單的幾何邊界條件的情況；而實際的湍流運動大多發生在高雷諾數和邊界條件很復雜的情況。所以，湍流的完整理論的形成，還需做很多艱巨的工作。茹勒和泰肯斯提出的“奇怪吸引子”理論，并不只對湍流的研究有重要意義，而是對整個混沌理論的發展都有重要作用。利用相空間描述系統的演化要用到“吸引子”概念。一般的動力系統，最終都會趨向于某種穩定態，這種穩定態在相空間里是由點（某一狀態）或點的集合（某種狀態序列）來表示的。這種點或點的集合對周圍的軌道似乎有種吸引作用，從附近出發的任何點都要趨近于它；系統的運動也只有到達這個點或點集上才能穩定下來并保持下去，這種點或點集就是“吸引子”。它表示著系統的穩定定態，是動力系統的最終歸縮，即系統行為最終被吸引到的相空間處所。
經典力學指出，有三種類型的吸引子為什么惠普云打印很慢。一種是穩定的不動點，它代表一個穩定定態；第二種是穩定的“極限環”，即相空間中的封閉軌線，在它外邊的軌線都向里卷，在它里邊的軌線都向外伸，都以這個封閉曲線為其極限狀態。極限環代表一種穩定的周期運動；第三類吸引子是穩定的環面，代表系統的準周期運動。
對一個動力系統來說，在長時間后系統的性態只可能是吸引子本身，其它的性態都是短暫的為什么惠普云打印很慢。所以吸引子的一個重要特征是“穩定性”，它表示著運動的最終趨向或“演化目標”，運動一旦進入吸引子，就不會再離開它；當一個小的擾動使系統暫時偏離吸引子后，它也必然會再返回來的。吸引子的另一個重要特征是“低維性”，它作為相空間的點集合，其維數必定小于相空間的維數。
上述幾類吸引子，都代表規則的有序運動，所以只能用于描述經典動力系統，而不能描述混沌運動為什么惠普云打印很慢。有耗散的混沌系統的長期行為也要穩定于相空間的一個低維的點集合上，這些點集合也是一種吸引子。但是混沌之所以是混沌，就是它絕不可能最終到達規則的有序運動；因而在它的吸引子內部，運動也是極不穩定的。在這種吸引子上，系統的行為呈現典型的隨機性，是活躍易變和不確定的。更為奇特的是，混沌系統的吸引子（點集合）具有極其復雜的幾何圖象，如果沒有電子計算機這種高效工具，混沌吸引子是無法繪制出來的。所以茹勒和泰肯斯把它們稱為“奇怪吸引子”，以區別于前述那幾種“平庸吸引子”。奇怪吸引子既具有穩定性和低維性的特點，同時還具有一個突出的新特點，即非周期性——它永遠不會自相重復，永遠不會自交或相交。因此，奇怪吸引子的軌線將會在有限區域內具有無限長的長度。
洛侖茲所給出的那個繞兩葉回轉的永不重復的軌線，就是一個奇怪吸引子——“洛侖茲吸引子”為什么惠普云打印很慢。它是在三維空間里的一類雙螺旋線；系統的軌道在其中的一葉上由外向內繞到中心附近，然后突然跳到另一葉的外緣由外向內繞行；然后又突然跳回原來的那一葉上。但每一葉都不是一個單層的曲面，而是有多層結構。從中取出任意小的一個部分，從更精細的尺度上看，又是多層的曲面。所以這種螺旋線真是高深莫測、復雜異常。它永遠被限制在有限的空間內，卻又永不交結，永無止境。1976年，德國的若斯勒考察了一個更為簡化的洛侖茲方程
dx/dt=-(y+z)
dy/dt=x+ay
dz/dt=b+xz-cz
這個方程組的特點是只有最后一個方程中含有非線性項xz為什么惠普云打印很慢。若斯勒由這個方程組得出了一個洛侖茲吸引子的變種（圖10）。
它也是由很多層次構成的復雜幾何圖象為什么惠普云打印很慢。與洛侖茲吸引子不同，若斯勒吸引子只有一片。它似乎是這樣形成的：當z較小時，系統的軌道在(x，y)平面或平行于它的平面內向外旋；當x足夠大時，z開始起作用，軌道在z軸方向拉長；當z變大后，dx/dt則變小，軌道又被拉回到x較小處。三個變量的交互作用，產生了軌線的復雜運動。
除此之外，混沌學家們還得到了一些其它的奇怪吸引子為什么惠普云打印很慢。可以斷言，充分認識奇怪吸引子的作用，對許多問題的探索，都會有巨大的作用。不過，奇怪吸引子的數學理論是困難的，目前還處于起始的階段。正像茹勒所說：①“這些曲線的花樣，這些點子的影斑，往往使人聯想到五彩繽紛的煙火，或寬闊無垠的銀河；也往往使人聯想到奇怪的、令人煩躁不安的植物繁殖。一個嶄新的領域展現在我們面前，其結構需要我們去探索，其協調（和諧）需要我們去發現。”
8．生理混沌的探索
70年代以來，在生物個體的生理現象中，也廣泛地發現了混沌為什么惠普云打印很慢。
生物體全身的每個器官，都有自己的節律為什么惠普云打印很慢。生命的存在，就是一個耦合振子，即各種內在節律振動的巧妙組合。一旦某種節律失調，就會使生命體患上某種疾病。
心臟的搏動，是推動一切生命節律的中心環節為什么惠普云打印很慢。正常的心律是周期性的。人的心搏大約是每分鐘50到100次，日復一日、年復一年地進行著；但是它有許多非周期的病，例如對生命危險極大的心室纖維性顫動。不同的心肌彼此不合節律地收縮，不協調地亂動一起，起不到正常泵血的作用，終致使病人死亡。病者心臟的各個部分似乎都是正常的，節律依然是規則的；但心臟的整體運動，卻致命地扭曲了，陷入了穩態混沌。這是一種復雜系統疾病。心臟自己不會停止這種纖顫，只有用電擊除顫器來消除。這種電震擊是一個巨大的擾動，可以使心臟返回到定態。為什么心臟的節律在人的一生中經歷幾百億次的搏動，其中經過多少次的緊張與松弛，加速與減速，從未失誤，然而卻會突然進入一種無法控制的、致命的瘋狂節律——纖顫呢？研究表明，有一類重要的心律失?？赡苁撬^“模式鎖定”引起的，即兩種并行收縮心律的相互作用產生的。從物理學上講，就是外來的迫動頻率與物體振蕩的固有頻率以某種簡單的數字比率達到同步，這稱為“鎖相”。加拿大數學生物學家列昂#8226;格拉斯(Glass，Leon 1943～)和他的同事在1981年進行了一個有趣的實驗。他們從雞胚心臟中取出一團細胞，這團細胞能夠自發跳動，相當于固有振蕩器，每分鐘跳動60次到120次。然后用一根極細的玻璃微電極插入細胞團，打入一個相當于迫振的周期性小電震。改變電脈沖的頻率和振幅，結果不僅產生了各種“鎖相”，而且產生了混沌。他們觀察到了搏動方式一次又一次地出現了分叉，即“倍周期”現象。這個結果表明，模式鎖定可以導致混沌，即使雞胚心臟的細胞團混沌地搏動。
科學家們的研究表明，一個參數的微小變化，可以把一個健康的心臟推進到一個雙分枝點而進入混沌態為什么惠普云打印很慢。科學家們希望通過混沌動力學的研究，能夠找到一種方法，在危急的纖顫發生之前，辨認出它的來臨；并設計出最有效的除顫裝置和治療藥物，使這些猜想盲試的方法變得比較科學。
類似的動力系統疾病現在也越來越多地被認識為什么惠普云打印很慢。這類疾病是由于系統的原有振蕩停止或振蕩方式改變引起的。例如喘息、嬰兒窒息、精神分裂癥、某種類型的抑郁癥，還有由于白細胞、紅細胞、血小板、淋巴細胞失衡而導致的某種白血病等。但是，生理學家已開始認識到，生理混沌可以導致疾病，它也可能是健康的保證。一個生命系統固然需要有抗干擾性，如心肌細胞和神經細胞能夠很好地抵抗外界的干擾；但生物系統還需要有靈活性，即能夠在一個很大的頻率范圍內適應外界的各種變化而正常工作。環境的變化常常是難以預料的，生物機體必須能夠迅速地對各種變化做出反應。如果機體的某種功能鎖定在一個嚴格固定的模式里不可改變，那就會喪失掉對外界變化的適應能力。例如把心臟搏動與呼吸節律都鎖入一個嚴格的周期中，在機體松弛與緊張的不同狀態，在空氣稀稠不同的各種海拔高度上，都只有同一種節律，這個生物體就不可能存活下去。人體的其他許多節律也都如此，都必須有多種變化的可能。哈佛醫學院的戈爾德伯格(Goldberger，Ary L.)斷言，健康的動力學標志就是分形物理結構；治療疾病時應著眼于拓寬一個系統的譜儲備，即增加產生不同頻率的能力。“廣譜的分形過程是‘信息上極為豐富的’。與此相反，周期態只能反映狹窄譜帶，它必然是單調的、重復的系列，信息內容貧乏。”①圣迭戈的精神病學家阿諾德#8226;曼德爾(Mandell，Arnold)甚至說：“可能是這樣，數學上的生理衛生健康其實就是疾病，而數學上的病理才是健康，即混沌態才是健康。”②他認為，人體中最混沌的器官就是腦，說人達到了平衡，那就是死亡，生物學平衡即死亡。“如果你被我詢問你的頭腦是否在平衡態，你的腦是否一個平衡系統，那就是說，要求你在幾分鐘的時間里不要去胡思亂想，而你這時自己就會知道你的大腦并非平衡系統。”科學家們也已開始用混沌來研究人工智能。例如利用系統動力學在多個吸引流域之間的來回變遷與溝通來模擬符號與記憶。人的精神思想包含著豐富的概念、決策、情緒和七情六欲，不能把精神和思想描繪成靜態的數學模型，它具有一系列尺度的層次，神經元實現著各種微觀尺度與宏觀尺度的交融聯系，這與流體力學中的湍流或其它復雜的動力系統十分相似。量子物理學家薛定諤(1887～1961)在《生命是什么？》這部名著中提出：生命以負熵為食；一個活的生物體有驚人的本領去濃縮“有序性之流”于自身之中，從而使生命避免融入原子混沌的崩潰之路。這正是生命活動的最基本的奧秘，它吮吸有序性于無序的海洋之中！他指出，生命的基本物質是“非周期晶體”，它組成了生物體這個十分動人的、復雜的物質結構。所以，非周期性正是生命奇特性質近于神妙境地的根源！無論人們如何看待混沌，但無論如何也不能把混沌和非周期性從人體、生命、精神思想中排除出去了。
通過混沌探索的歷史回顧，我們可以斷言，混沌學正在改變著整個科學建筑的結構，改變著整個科學世界圖景為什么惠普云打印很慢。混沌學的發展，或者更廣義地說，非線性科學的發展，撥正了科學探索的方向盤。未來科學的任務，不是使用經典確定論的手術刀剖析明白宇宙的鐘表結構，而是按照確定性與隨機性統一的觀點，闡明客觀世界這個超巨系統的復雜結構和運行方式，揭示它演化發展的機理與途徑。J.格萊克(Gleick，James)在《混沌》一書中寫道：“這門新科學的最熱情的鼓吹者們竟然宣稱：20世紀的科學只有三件事將被永志不忘，那就是相對論、量子力學和混沌。他們認為混沌是20世紀物理學的第三場大革命。與前兩場革命相似，混沌與相對論及量子力學一樣沖跨了牛頓物理學的基本原則。正如一位物理學家所說：‘相對論消除了絕對空間和時間的牛頓幻覺；量子力學消除了關于可控測量過程的牛頓迷夢；混沌則消除了拉普拉斯決定論關于可預見性的狂想’。而這第三場革命又有一些不同，它直接適用于我們看得見摸得著的世界，是在和人類自身尺度大小差不多的對象中發生的過程。”
分形與分維研究
1．分形與“無窮嵌套的自相似結構”
兩千多年來，古希臘人創立的幾何學，一直是人們認識自然物體形狀的有力工具為什么惠普云打印很慢。經典幾何學所描繪的都是由直線或曲線、平面或曲面、平直體或曲體所構成的各種幾何形狀，它們是現實世界中物體形狀的高度抽象。天文學家們用這種幾何知識構造了多種宇宙理論，建筑師們利用它設計出大量宏偉的建筑；以致于近代物理學的奠基者、偉大的科學家伽利略極其權威地斷言：大自然的語言是數學，“它的標志是三角形、圓和其他幾何圖形”。
然而事實上，傳統幾何學的功能并不是那么大的，它所描述的只是那些具有光滑性即可微性（可切性），至少是分段分片光滑的規則形體為什么惠普云打印很慢。這類形體在自然界里只占極少數。自然界里普遍存在的幾何形體大多數是不規則的、不光滑的、不可微的，甚至是不連續的。如蜿蜒起伏的山脈，曲折凸凹的海岸線，坑坑洼洼的地面，枝干縱橫的樹枝，團塊交疊的浮云，孔穴交錯的蛋糕……真是奇形怪狀，千姿百態。這些形狀和經典幾何學所描述的形狀，真是大相徑庭。對于了解自然界的復雜性來講，歐幾里得幾何學是一種不充分、不具有普遍性的抽象。1975年冬天的一天，正在思索著現實世界真實幾何形象問題的法國數學家曼德爾布羅特(Mandelbrot，B.B.)隨手翻閱他兒子的字典，注意到了拉丁字“fractus”，這個來自動詞frangere的形容詞含有破裂之意。他由此創立了“分形”(fractal)這個概念，并由此創立了“分形幾何理論”，從而把數學研究擴展到了傳統幾何學無法涉足的那些“病態曲線”和“幾何學怪物”的領域。曼德爾布羅特說：“云朵不是球，山巒不是錐，海岸線不是圓，樹皮不光滑，閃電也不走直線。”分形幾何學所映射出的自然事物不是光滑無瑕、平坦規整的，而是凸凹不平、粗糙叢雜、扭曲斷裂、糾結環繞的幾何形體。
自然界的現象通常都發生在某種特征標度上，如特征長度、特征時間等特征尺度上為什么惠普云打印很慢。科學家關于事物特征的描述最基本的莫過于問它有多大，持續多久。這都是依賴于標度（尺度）的一些基本性質。每種事物都有其特征尺度，例如天體物理學家描寫的宇宙結構，大約在數百萬光年的范圍上；生物學家認識的微生物的結構大約有微米的長度；物理學家研究的夸克，約在10-13厘米的數量級上。每一個具體事物，都與特定的尺度相連系。幾厘米長的昆蟲與幾米、十幾米大小的巨獸在形態、結構上必然極不相同，否則它們就無法生存和繁衍。《楚辭#8226;卜居》中說：“夫尺有所短，寸有所長”。這也是說事物都有其自己的特征尺度，要用適宜的尺去測度。用寸來量度細菌，用尺來量度萬里長城，前者失之過長，后者又嫌太短。所以，標度是十分重要的。試圖對自然現象做定量描寫時，就必須從特征尺度入手。一個好的理論模型，往往要涉及三個層次：首先是由特征尺度確定的基本層次；更大尺度的環境就用“平均場”和決定外力的“位勢”等描寫；更小尺度上的相互作用，則以“摩擦系數”、“擴散系數”等得自于實驗的“常數”來表征。如果要從理論上對這些系數做出闡明和推算，那就必須從物質運動的更深入細微的層次上進行探討。
但是，分形幾何學卻否定了關于事物大小和久暫的區分的絕對標度性，指出對于大自然的某些現象，去尋求特征尺度是毫無意義的為什么惠普云打印很慢。曼德爾布羅特研究過電子通訊中的噪音，研究過河水泛濫的數據，還研究過棉花價格的漲落。通過這些研究，他開始形成實際的圖象。在他的關于現實的圖象里竟然沒有二分法的位置，無法把微小的變化與宏大的變化分離開來，而是把它們緊緊地聯系在一起。他所尋找的圖象，無所謂小尺度和大尺度的差異，而是超越一切尺度；它不是左和右的對稱、上和下的對稱，而是大尺度與小尺度之間的對稱。曼德爾布羅特把1900年以來棉花價格的數據通過計算機處理，確實找到了他所追求的驚人的結果。那些從正態的誤差分布觀點看來產生偏離的數，從尺度觀點看卻發現了對稱。每一天的價格變化曲線與每一個月的價格變化曲線完全匹配。雖然其間經歷了兩次世界大戰和一次經濟大蕭條，但在60年的周期里，竟然有價格的變異度不變的基本規律。在極為無序的大量數據的內部，竟然存在著如此出人預料的序，完全具有任意性的數據竟然被一條規律所支配，這個尺度問題看來具有自己的生命。這使曼德爾布羅特從對實際現象的研究轉向探索尺度現象。
曼德爾布羅特關于大自然過程里不規整花樣的研究以及他關于無窮復雜形象的探索最終匯流到一個交結點上，這就是自然事物的“自相似”這個特性為什么惠普云打印很慢。“大自然在所有標度上同時起作用”。自然界的許多事物在其內部的各個層次上都具有自相似的結構，在一個花樣內部還有更小的同樣的花樣。自相似物體不具有特征標度，它是跨越尺度的對稱性；它在不同測量尺度上看去差不多一樣，是一種“無窮嵌套的自相似結構”。“分形”就意味著“自相似”。一個幾何圖形，如果它的組成部分與圖形整體之間有某種相似性，就稱為“分形”。“自相似”的思想在人類文化的各個方面都有所反映。中國古代就有“袖里有乾坤，壺中有日月”和“一塵一世界”的說法。曼德爾布羅特曾引頌《格列佛游記》的作者J.斯韋夫特(J.Swift1667～1745)的一首打油詩：“博物學家看仔細，大蚤身上小蚤棲；更有微蚤叮小蚤，遞相嚙噬無盡期。”德國哲人萊布尼茲(G.W.F.VonLeibniz1646～1716)也曾設想，在一滴水里包含著多姿多彩的世界，其中又有許多滴水，每滴水又各有新的世界。
海岸線就是天然存在的一個分形為什么惠普云打印很慢。曼德爾布羅特在一篇題為《英國的海岸線有多長》①的文章里做出這樣的結論：任何海岸線，在某種意義上都是無限長的；在另一種意義上說則決定于你所選用的尺的長度。因為在不同標度上描繪的海岸線圖，都顯示出相似的灣、岬分布。每一個大灣中都有小灣和小岬，那些小灣和小岬中又有更小的灣和岬；把這些灣和岬放大后和實際的海岸線仍然相似。正如曼德爾布羅特所說：“當你初次在一張比例尺為十萬分之一的地圖看到的一個海灣或半島重新在一張比例尺為一萬分之一的地圖上被觀察時，無數更小的海灣和更小的半島就變得清晰可見了。在一張比例尺為一千分之一的地圖上，更小更小的海灣和更小更小的半島又出現了。”所以，你如果用一米的尺沿海岸測量，可以得出一個近似的長度，因為實際上你已經把小于一米的曲曲彎彎部分忽略掉了。如果改用一厘米的尺去量，一些小的曲折將被計入，得到的海岸線將會增長。隨著測度標尺的變小，海岸線的長度會不斷加長，永遠不會收斂于一個極限數值。其根本原因就在于海岸線是一個無窮嵌套的自相似結構。
分形不僅在所有的標度上都有結構，而且在所有標度上都有相同的結構為什么惠普云打印很慢。1904年，瑞典數學家科赫(Koch，Helge Von 1870～1924)構造的“雪花曲線”，嚴格地顯示了分形這種有趣的特征。設想給出一個正三角形，再不斷進行如下變換：在每邊正中的1/3邊上再造一個凸出來的正三角形，使原三角形變成六角形；在這個六角形的12條邊的每條邊中間的1/3上再凸出一個正三角形，變成一個4×12=48邊形；反復操作這種變換以至無窮（圖11），其邊緣愈來愈增添精細結構，得到一個由分形曲線（“科赫曲線”）圍成的科赫島，好似一個雪花。科赫曲線是一條連續的環，絕不自身相交；每次變換都會使“科赫島”的面積稍有增加，但總面積永遠是有限的，并不比原三角形的面積大很多（小于原三角形的外接圓）；但科赫曲線的總和卻是無窮長的。這似乎是一個矛盾的結果：島的面積有限，但周長無窮大；或者說一條無限長又絕不自交的曲線包圍成了一個有限的面積。
數學家們還構造了許多類似的一維的、二維的和三維的分形結構為什么惠普云打印很慢。如“康托爾灰塵”（圖12）；在一條線段上去掉中間的1/3；然后對所余二段各去掉其中間的1/3；反復操作下去，剩下的即康托爾集合。它是一些點非點、線非線的東西，數量為無窮多，但總長度為零。另如“塞爾平斯基地毯”（圖13甲）和它的三維類似“孟格爾海綿”（圖13乙）。前者總面積為零而孔線長度無窮大；后者總體積為零而總的表面積無窮大。在當時許多數學家的頭腦里，認為這些曲線或形狀是“病態的”，似乎大自然不應如此。但曼德爾布羅特卻由這些一層比一層精細的相似結構中，窺視到了宇宙的秘密。
2．分維概念的提出
對于歐幾里得幾何所描述的整形來說，可以由長度、面積、體積來測度為什么惠普云打印很慢。但用這種辦法對分形的層層細節做出測定是不可能的。曼德爾布羅特放棄了這些測定而轉向了維數概念。分形的主要幾何特征是關于它的結構的不規則性和復雜性，主要特征量應該是關于它的不規則性和復雜性程度的度量，這可用“維數”來表征。維數是幾何形體的一種重要性質，有其豐富的內涵。整形幾何學描述的都是有整數維的對象：點是零維的，線是一維的，面是二維的，體是三維的。這種幾何對象即使做拉伸、壓縮、折疊、扭曲等變換，它們的維數也是不變的；這種維數稱為“拓撲維”，記為d。例如當把一張地圖卷成筒，它仍然是一個二維信息載體；一根繩子團成團，仍然是一維結構。但曼德爾布羅特認為，在分形世界里，維數卻不一定是整數的。特別是由于分形幾何對象更為不規則，更為粗糙，更為破碎，所以它的分數維（簡稱“分維”，記為D）不小于它的拓撲維，即D≥d。
維數和測量有密切關系為什么惠普云打印很慢。如為了測一平面圖形的面積，就要用一個邊長為l、面積為l2的標準面元去覆蓋它，所得的數目就是所測的面積。如果用長度l去測面積，就會得到無窮大；而如果用l3去測這塊面積，結果就是零。這就表明，用n維的標準體ln去測量一個幾何對象，只當n與拓撲維數d一致時，才能得出有限的數值。如果n＜d，就會得到無窮大；如果n＞d，則結果為零。分數維也是按照這個要求來定義的。由于分形的復雜性有多種不同類型，所以可以提出不同定義的分維概念，從不同的角度表示分形的不規則性。通常用的是“容量維”。簡單地說，分維所表示的不規整程度，相當于一個物體占領空間的本領。一條光滑的一維直線，完全不能占領空間；但是“科赫曲線”卻有無窮的長度，比光滑的直線有更多的折皺，擁擠在一個有限的面積里，的確占領了空間，它已不同于一條直線，但又小于一個平面。所以它大于一維，又小于二維，它的容量維為1.2618，這看來是理所當然的。海岸線的分維數通常在1.15到1.25之間。曼德爾布羅特指出，對于各種分形來說，即使在不同的尺度上，用分維表示的不規整程度卻是一個常量。這真是一個令人驚奇的性質，也表明“分維”概念的客觀現實特性。分維所表征的正是大自然的規則的不規則性。一個分形的曲線意味著一種有組織的結構，這個結構隱藏在奇特怪異的形狀之中。
分形和混沌動力學之間的聯系很快就被發現了為什么惠普云打印很慢。混沌的奇怪吸引子都是分形。結構的復雜性使現實世界出現了大量分形幾何形體，也使確定性動力學體系出現無規性。奇怪吸引子都有層次的自相似性。無窮相似結構互相套疊起來，就相當于沒有規則結構，所以“無窮嵌套的自相似結構”呈現出總體的混沌。非線性動力學系統一旦進入混沌吸引子區域，就會隨機地在吸引子內部四處游蕩，但又不能充滿整個區域，區域內存在著無窮多的隨機空隙，從而使整個混沌區出現維數上的“空洞”，呈現分數維數。
洛侖茲吸引子就是三維背景空間中的一張分形曲面，其容量維等于2.06；若斯勒吸引子也是三維背景空間中的一張分形曲面為什么惠普云打印很慢。所以，“分形幾何學”和“分維”概念已經成為混沌學研究的重要工具。